| 随机过程、时间序列与策略实践 |
| 作者：Q 发表时间：2022-10-17 阅读次数：721 |
| 随机过程是一组随机变量的集合，用于描述随时间变化的随机变量。例如：股票在一天中的价格变化、上海一年降雨量的变化。根据时间与状态的连续性，我们可以进一步将随机过程分为：离散时间离散状态（如：每过一段时间统计一次某只股票是上涨了还是下跌了）、离散时间连续状态、连续时间离散状态、连续时间连续状态（如：某一天盘中未发生跳空的某只股票价格变化）。 时间序列是指将同一统计指标的数值按其发生的时间先后顺序排列而成的数列。经济数据中大多数以时间序列的形式给出。我们通常所希冀形成的市场趋势，便是对价格在时间维度上展开的一种特征进行描述。 随机过程和时间序列之间的关系就类似于：我们所统计得到的一组历史时间序列数据就是对其随机过程实现的一次具体观察结果或称之为一条样本轨道。从某种程度上来讲，我们在股市或期市利用历史时间序列数据是希望借此管中窥豹，了解其背后整体的随机过程，并预期未来事件发生的可能性，从而实现可能的获利。 本文旨在对随机过程与时序策略的实践做一些基本的探讨和梳理，并非严格的学术论证。 一、平稳性与非平稳性的探讨 平稳性是指序列的统计特性不随时间的平移而变化。因为样本时间序列展示了随机变量的历史和现状，若我们要求样本数据时间序列的本质特性仍能延续到未来，便可借此预测未来的可能性，这便是平稳性的假定。例如：通常我们可以用样本时间序列的均值、方差和协方差来刻画样本时间序列的本质特性。 相反，若样本时间序列的本质特征只存在于发生的当期，并不会延续到未来，其均值、方差、协方差并不具备一定的稳定性，便称这样的样本时间序列是非平稳的。 因此，平稳性是经典回归分析赖以实施的一个基本假设。 需要指出的是，经济系统中很多时间序列数据是非平稳的，虽然常可试图通过差分变换的方法转换成为平稳序列，但差分的代价是得到的新序列也会失去部分重要的过去信息（记忆）。 另外，在金融市场中的价格变化是否具有平稳性以及检验平稳性是否有效，有时是一个有所争议的话题，在此并不展开。 事实上，非平稳性也并不全是坏事，它常来源于：趋势（含确定性、不确定性）、季节性或周期性等因素。Cramer分解定理认为，任何一个时间序列都可以分解为两部分的叠加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成分，另一部分是平稳的零均值误差成分。若能有效分离出趋势成分，也可能借此获利。 二、相关性与独立性的探讨 一个常考虑的问题是所得到的序列数据之间是否存在相关性。存在相关性则不独立。由于时间序列分析是根据历史数据总结并预测未来，若我们认为经济变量具备一定固有的惯性，则可能会希冀序列的前后数据之间具备一定的相关性（或称为自相关性），如常用的ARIMA模型等。 另一个概念是渐进独立性，也就是说，如果两个变量相距得足够远，可以近似认为两者相互独立。这在现实中也是可以理解的，例如：今年的GDP数据和去年的GDP数据存在很高的相关性，但和50年或100年前的GDP数据相关性就不那么显著了。 三、关于状态的衡量与转移 状态是指时间序列中具有表征意义的特征片段。一个相对简单的理解如：基于某一时期的价格波动特征，我们可以认为其处于趋势状态或是震荡状态，处于牛市或是熊市。状态空间是指所有可能的状态集合。状态转移是指不同时期，时间序列所表征的状态的切换。当我们知道一个时间序列数据过去以及当期处于某一状态时，之后1期或之后n期处于另一状态的概率是不尽相同的。数据充分时，我们可以根据最大似然估计或其他估计方法去衡量时间序列数据在不同状态之间的转移概率，得到转移概率矩阵，从而预期未来的状态分布。较常用的便是马尔可夫链模型及方法。 四、一个策略实践方法的案例 这里只简单介绍预测中常用的一种指数平滑法。我们考虑一个实践序列Xt的超前1步预测。我们假定时间序列Xt的序列相关性以指数衰减，用历史数据的加权平均来预测Xt+1，且权重的贡献是指数衰减的，也就是说距离越远的历史观测值对预测的贡献越小。于是有：
由于两个模型之间具有等价性，因此贴现因子w也可以用最大似然法估计出来，并且可以用ARIMA模型的建模过程来识别和检验指数平滑法的充分性。
可以看到这个模型的白噪声经检验通过。因此，在本例中，我们可以用指数平滑法来预测日VIX指数的对数序列。 更详尽的方法实践可参考文献：
1.《金融数据分析导论：基于R语言》，机械工业出版社，[美] Ruey S. Tsay著，李洪成、尚秀芬、郝瑞丽译。
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